[백준] 1010 - 다리 놓기(JAVA)

https://www.acmicpc.net/problem/1010

문제

재원이는 한 도시의 시장이 되었다. 이 도시에는 도시를 동쪽과 서쪽으로 나누는 큰 일직선 모양의 강이 흐르고 있다. 하지만 재원이는 다리가 없어서 시민들이 강을 건너는데 큰 불편을 겪고 있음을 알고 다리를 짓기로 결심하였다. 강 주변에서 다리를 짓기에 적합한 곳을 사이트라고 한다. 재원이는 강 주변을 면밀히 조사해 본 결과 강의 서쪽에는 N개의 사이트가 있고 동쪽에는 M개의 사이트가 있다는 것을 알았다. (N ≤ M)

재원이는 서쪽의 사이트와 동쪽의 사이트를 다리로 연결하려고 한다. (이때 한 사이트에는 최대 한 개의 다리만 연결될 수 있다.) 재원이는 다리를 최대한 많이 지으려고 하기 때문에 서쪽의 사이트 개수만큼 (N개) 다리를 지으려고 한다. 다리끼리는 서로 겹쳐질 수 없다고 할 때 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 그 다음 줄부터 각각의 테스트케이스에 대해 강의 서쪽과 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N, M (0 < N ≤ M < 30)이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해 주어진 조건하에 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 출력한다.

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M개 중에서 N개를 선택하는 조합 문제로 문제 자체의 해결 방법은 금방 떠오른다. 그렇기에 이 문제에서 막힌다면, 대부분 이 부분에서 때문일 것이다.

조합식을 어떻게 구현해야 하지?

반복문 돌려서 하면 어떻게든 구현이 될 것 같기는 한데, 아무리 생각해도 시간 제한에 걸릴 것 같다.

이 문제는 조합의 성질을 이용해 도출할 수 있는 점화식을 이용하는 동적계획법 문제다.

$$_MC_N = _{M-1}C_{N-1} + _{M-1}C_{N}$$

결론적으로 조합의 점화식은 이렇게 구현된다.

https://www.youtube.com/watch?v=U22u6E2udUI
점화식의 도출 과정이 궁금하다면 위 영상을 추천한다.

점화식을 알았으니 구현하는 것만 남았다.

$_mC_n$에 해당하는 값은 DP[m][n]에 저장한다고 생각하면 된다.

가장 최소값인 DP[i][1], DP[i][i], DP[i][0] 정도만 미리 저장을 해두면, 다른 조합식에 대한 값들은 모두 점화식에 대입하여 구할 수 있다.

이러한 방법을 메모제이션(Memozation)이라고 한다.

나는 두 가지의 방법으로 구현해볼 것이다.

1. Top-Down 방식 (재귀)
2. Bottom-UP 방식 (반복문)

https://wooono.tistory.com/515
각 방식에 대한 설명은 위 블로그 글에 쉽게 설명되어 있다.

 

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코드

Top-Down

import java.io.BufferedReader;  
import java.io.IOException;  
import java.io.InputStreamReader;  
import java.util.StringTokenizer;  

public class Main {  
    static int[][] dp = new int[31][31];  

    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));  
        StringTokenizer stk;  
        StringBuilder sb = new StringBuilder();  

        for (int i = 0; i < 31; i++) {  
            dp[i][i] = 1;  
            dp[i][1] = i;  
        }  

        int t = Integer.parseInt(br.readLine());  
        for (int i = 0; i < t; i++) {  
            stk = new StringTokenizer(br.readLine());  
            int n = Integer.parseInt(stk.nextToken());  
            int m = Integer.parseInt(stk.nextToken());  

            sb.append(combination(m, n)).append('\n');  
        }  

        System.out.println(sb);  
    }  

    private static int combination(int m, int n) {  
        // 탐색 종료  
        if(dp[m][n] != 0)  
            return dp[m][n];  

        return dp[m][n] = combination(m-1, n) + combination(m-1,n - 1);  
    }  
}

Bottom-Up

public class Main {  
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));  
        StringTokenizer stk;  
        StringBuilder sb = new StringBuilder();  

        int[][] dp = new int[30][30];  

        for (int i = 0; i < 30; i++) {  
            dp[i][i] = dp[i][0] = 1;  
            dp[i][1] = i;  
        }  

        for (int j = 2; j < 30; j++) {  
            for (int k = 1; k <= j; k++) {  
                dp[j][k] = dp[j - 1][k] + dp[j - 1][k - 1];  
            }  
        }  

        int t = Integer.parseInt(br.readLine());  
        for (int i = 0; i < t; i++) {  
            stk = new StringTokenizer(br.readLine());  
            int n = Integer.parseInt(stk.nextToken());  
            int m = Integer.parseInt(stk.nextToken());  

            sb.append(dp[m][n]).append("\n");  
        }  

        System.out.println(sb);  
    }
}

생각한 것보다 두 알고리즘 간의 성능 차이는 없었다. N, M의 범위가 더 늘어나면 유의미한 차이가 생기려나?

 

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Reference

Top-Down, Bottom-Up : https://wooono.tistory.com/515
조합 점화식 : https://www.youtube.com/watch?v=U22u6E2udUI